Question

已知函数f（x）=x³+2x²-4x+5．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式写出直线方程；
（2）求出函数的导数，利用导数研究函数f（x）在区间[-4，1]的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+4x-4，
∴k=f′（1）=3×1²+4×1-4=3，
又f（1）=4，
∴所求切线方程为y-4=3（x-1），
即y=3x+1
（2）由（1）知f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，解得x=-2，或x=

2

3

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增
函数值	-11		13		95 27		4

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．

点评：本题主要考查导数的概念及应用：求切线方程，利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单调性并利用单调性确定函数的最值，并求出．此是导数的一个很重要的运用．