【题目】已知抛物线,的焦点为
,过点
的直线
的斜率为
,与抛物线
交于
,
两点,抛物线在点
,
处的切线分别为
,
,两条切线的交点为
.
(1)证明:;
(2)若的外接圆
与抛物线
有四个不同的交点,求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)或
【解析】
(1)联立直线与抛物线的方程,利用根于系数关系,结合斜率表达式求得
即可;
(2)由(1)可知,圆是以
为直径的圆且圆
的方程可化简为
,联立圆与抛物线的方程得到
,圆
与抛物线
有四个不同的交点等价于
解:(1)证明:依题意有,直线
,
设,
,
,
,直线
与抛物线
相交,
联立方程消去
,化简得
,
所以,.
又因为,所以直线
的斜率
.
同理,直线的斜率
,
所以,,
所以,直线,即
.
(2)由(1)可知,圆是以
为直径的圆,
设是圆
上的一点,则
,
所以,圆的方程为
,
又因为,
所以,圆的方程可化简为
,
联立圆与抛物线
得
消去,得
,
即,即
,
若方程与方程
有相同的实数根
,
则,矛盾,
所以,方程与方程
没有相同的实数根,
所以,圆与抛物线
有四个不同的交点等价于
,
综上所述,.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下表列出了10名5至8岁儿童的体重x(单位kg)(这是容易测得的)和体积y(单位dm3)(这是难以测得的),绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合y与x的关系:
体重x | 17.00 10.50 13.80 15.70 11.90 10.20 15.00 17.80 16.00 12.10 |
体积y | 16. 70 10.40 13.50 15.70 11.60 10.00 14.50 17.50 15.40 11.70 |
(1)求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01);
(2)某5岁儿童的体重为13.00kg,估测此儿童的体积.
附注:参考数据:,
,
,
,
,
,137×14=1918.00.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.
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【题目】为了贯彻落实党中央精准扶贫决策,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户,则下列说法错误的是( )
A.该市总有 15000 户低收入家庭
B.在该市从业人员中,低收入家庭共有1800户
C.在该市无业人员中,低收入家庭有4350户
D.在该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有 800 户
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【题目】在直角坐标系中,射线
的方程为
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的方程为
.一只小虫从点
沿射线
向上以
单位/min的速度爬行
(1)以小虫爬行时间为参数,写出射线
的参数方程;
(2)求小虫在曲线内部逗留的时间.
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【题目】2019年国庆黄金周影市火爆依旧,《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新,为了解我校高三2300名学生的观影情况,随机调查了100名在校学生,其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位,看过《中国机长》的学生共有60位,看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位,则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )
A.1150B.1380C.1610D.1860
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)设点分别为曲线
与曲线
上的任意一点,求
的最大值;
(2)设直线(
为参数)与曲线
交于
两点,且
,求直线
的普通方程.
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【题目】某市房管局为了了解该市市民年
月至
年
月期间买二手房情况,首先随机抽样其中
名购房者,并对其购房面积
(单位:平方米,
)进行了一次调查统计,制成了如图
所示的频率分布直方图,接着调查了该市
年
月至
年
月期间当月在售二手房均价
(单位:万元/平方米),制成了如图
所示的散点图(图中月份代码
分别对应
年
月至
年
月).
(1)试估计该市市民的购房面积的中位数;
(2)现采用分层抽样的方法从购房面积位于的
位市民中随机抽取
人,再从这
人中随机抽取
人,求这
人的购房面积恰好有一人在
的概率;
(3)根据散点图选择和
两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程,分别为
和
,并得到一些统计量的值如下表所示:
0.000591 | 0.000164 | |
0.006050 |
请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测出
年
月份的二手房购房均价(精确到
)
(参考数据),
,
,
,
,
,
(参考公式)
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【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形
为边长等于
的正方形,
和
均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若点在棱
上运动,当直线
与平面
所成的角最大时,求二面角
的余弦值.
图一
图二
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