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已知函数f(x)=ax3-x2+ln(x+1)(a∈R),在x=1处的切线与直线3x-2y+5=0平行.
(1)当x∈[0,+∞)时,求f(x)的最小值;
(2)求证:
1
23
+
2
33
+
3
43
+…+
n-1
n3
<ln(n+1)(n≥2且n∈N).
分析:(1)先利用导数的四则运算计算函数f(x)的导函数f′(x),再利用导数的几何意义求得a的值,最后证明函数当x∈[0,+∞)时的单调性,利用单调性求函数最值;(2)利用(1)中的结论,即f(x)在[0,+∞)上恒大于或等于零,结合所证不等式的形式,只需设x=
1
n
,即可构造两个具有不等关系的数列,分别求和即可证明所证不等式
解答:解:(1)由已知f′(x)=3ax2-2x+
1
x+1

∵函数f(x)在x=1处的切线与直线3x-2y+5=0平行
∴f′(1)=3a-2+
1
2
=
3
2

∴a=1
∴f(x)=x3-x2+ln(x+1),f′(x)=3x2-2x+
1
x+1
=
3x3+(x-1)2
x+1
>0  (x≥0)
∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴[f(x)]min=f(0)=0
(2)令x=
1
n
.(n∈N*) 则:f(
1
n
)>0
1
n3
-
1
n2
+ln(1+
1
n
)>0
即:
n-1
n3
<ln(1+
1
n

1
23
<ln(1+
1
2
),
2
33
<ln(1+
1
3
)
,…,
n-1
n3
<ln(1+
1
n

1
23
+
2
33
+…+
n-1
n3
<ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
3
)+…+ln(1+
1
n
)=ln(
3
2
4
3
n+1
n
)=ln
n+1
2
<ln(n+1)
∴不等式成立.
点评:本题综合考查了函数与数列的应用,导数的几何意义,利用导数证明函数的单调性进而求函数最值得方法,利用函数不等式证明数列不等式的方法.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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