Question

4．若函数f（x）对任意的实数x₁，x₂∈D，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则称函数f（x）是区间D上的“缓缓函数”，有以下几种说法：
①y=x²-x不是R上的“缓缓函数”；
②己知函数y=x+sinx，y=x-sinx都是R上的增函数，则y=sinx是R上的“缓缓函数”；
③已知函数y=x+sinx，y=x-sinx都是R上的增函数，则y=sinx不是R上的“缓缓函数”；
④若数列{x_n}满足|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$，设y_n=sinx_n，则有：|y_n+1-y₁|＜$\frac{1}{6}$
把你认为正确的选项都填在横线上①②．

Answer 1

分析 由新定义结合举例说明y=x²-x不是区间R的“缓缓函数”；由y=x+sinx，y=x-sinx是实数集R上的增函数，得到当x₁＜x₂时，sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，且sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，两式结合可得对任意的实数x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，由此可得sinx是R上的“缓缓函数”；由②知，sinx是R上的“缓缓函数，可得|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，∴|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，而|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$，然后通过放缩法可得|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，说明④不正确．

解答 解：对于①，y=x²-x，
由于|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|，
取x₁=3，x₂=1，则|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=x²-x不是区间R的“缓缓函数”；
对于②，y=x-sinx是实数集R上的增函数，
不妨设x₁＜x₂，则x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
则sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，①
又y=x+sinx也是R上的增函数，则x₁+sinx₁＜x₂+sinx₂，
即sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，②
由①、②得-（x₂-x₁）＜sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，
因此|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|，对x₁＜x₂的实数都成立，
当x₁＞x₂时，同理有|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|成立，
又当x₁=x₂时，不等式|sinx₂-sinx₁|=|x₂-x₁|=0，
故对任意的实数x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，
因此sinx是R上的“缓缓函数”；
∴②正确，③不正确；
对于④，由②知，sinx是R上的“缓缓函数，
则|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，∴|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，
而|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$，
∴|y_n+1-y_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
而|y_n+1-y₁|=|（y_n+1-y_n）+（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…（y₂-y₁）|
所以|y_n+1-y₁|≤|y_n+1-y_n|+|y_n-1-y_n-2|+…+|y₂-y₁|，
则|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$[（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）+…+（1-$\frac{1}{2}$）]
因此|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，故④不正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，在新定义下考查函数的单调性及不等式的性质，训练了放缩法证明函数不等式，是中档题．