Question

16．设二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点的横坐标为-2，且图象过点（0，3），又方程f（x）=0的两个实根的平方和为10．（1）求a，b，c的值；
（2）A={x|ax²+bx+c=3，x∈R}，B={x|x²+2（m+1）x+m²-1=0，x∈R}，如果B⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程的根与系数的关系可得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-2×$\frac{c}{a}$=10，根据二次函数的性质可得：$-\frac{b}{2a}$=-2，c=3，联立检查即可得出．
（2）ax²+bx+c=3，即x²+4x+3=3，可得A={0，-4}．根据B⊆A，可得B=∅，{0}，{-4}，{0，-4}．利用一元二次方程的根与系数及其判别式的关系即可得出．

解答 解：（1）设方程f（x）=0的两个实根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，∵${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=10，∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-2×$\frac{c}{a}$=10，又$-\frac{b}{2a}$=-2，c=3，
联立解得：c=3，a=1，b=4．
（2）ax²+bx+c=3，即x²+4x+3=3，化为x²+4x=0，解得：x=0，-4，∴A={0，-4}．
∵B⊆A，∴B=∅，或B={0}，或B={-4}，或B={0，-4}．
①B=∅时，△=4（m+1）²-4（m²-1）＜0，解得：m＜-1；
②B={0}，则$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{{m}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得m=-1．
③B={-4}，则$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{16-8（m+1）+{m}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得：m∈∅．
④B={0，-4}，则$\left\{\begin{array}{l}{0-4=-（m+1）}\\{0×（-4）={m}^{2}-1}\end{array}\right.$，△＞0，联立解得m∈∅．
综上可得：实数m的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的根与系数及其判别式的关系、集合之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．