Question

6．点M为棱长是$2\sqrt{2}$的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O球面上的动点，点N为B₁C₁的中点，若满足DM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$．

Answer 1

分析 直线DM在过点D且与BN垂直的平面内．又点M在内接球的球面上，故点M的轨迹是正方体的内切球与过D且与BN垂直的平面相交得到的小圆，即可得出结论．

解答 解：设BB₁的中点E，CE为DM在平面B₁C₁CB中的射影，直线DM在过点D且与BN垂直的平面内．
又点M在内接球的球面上，
故点M的轨迹是正方体的内切球与过D且与BN垂直的平面相交得到的小圆，
即点M的轨迹为过D，C，E的平面与内切球的交线．
由等面积$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$，
求得点O到此平面的距离为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，截得小圆的半径为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
所以以点P的轨迹的长度为$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$，
故答案为$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$．

点评 本题考查了学生的空间想象力，求出点M的轨迹是关键，属于中档题．