Question

20．如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A′MN），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′点落在边BC上，设∠AMN=θ．
（1）若θ=$\frac{π}{3}$，绿地“最美”，求最美绿地的面积；
（2）为方便小区居民行走，设计时要求AN，A′N最短，求此时公共绿地走道MN的长度．

Answer 1

分析 由∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a，得∠BAC=$\frac{π}{3}$，设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a-xa，所以在Rt△MBA′中，cos（π-2θ）=$\frac{a-xa}{xa}$=$\frac{1-x}{x}$；
（1）因为θ=$\frac{π}{3}$，所以cos（π-2θ）=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x值，可得△AMN为等边三角形，进而得到最美绿地的面积；
（2）根据（1）中结论，可得AN=$\frac{a}{\frac{1}{2}+sin（2θ-\frac{π}{6}）}$，根据三角函数的图象和性质，可得θ=$\frac{π}{3}$时，AN最短，且AN=$\frac{2}{3}a$，进而得到答案．

解答 解：由∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a，得∠BAC=$\frac{π}{3}$…（1分）
设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a-xa，
所以在Rt△MBA′中，cos（π-2θ）=$\frac{a-xa}{xa}$=$\frac{1-x}{x}$…（3分）
（1）因为θ=$\frac{π}{3}$，所以cos（π-2θ）=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{2}$，所以x=$\frac{2}{3}$，
又∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以△AMN为等边三角形，所以绿地的面积S=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$a×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}{a}^{2}$…（5分）
（2）因为cos（π-2θ）═-cos2θ=2sin²θ-1=$\frac{1-x}{x}$，
所以x=$\frac{1}{2{sin}^{2}θ}$，则AM=$\frac{a}{2{sin}^{2}θ}$…（7分）
又∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以在△AMN中，∠ANM=$\frac{2π}{3}-θ$，故$\frac{AN}{sinθ}=\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
所以AN=$\frac{a}{2{sin}^{2}θ}$×$\frac{sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{a}{2sinθ•sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}+sin（2θ-\frac{π}{6}）}$…（11分）
又$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{3}＜2θ-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以当$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，AN最短，且AN=$\frac{2}{3}a$，
此时公共绿地走道MN=$\frac{2}{3}a$…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的应用，函数的最值，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．