Question

11．已知直线l在x轴和y轴上的截距相等，且与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 当直线过原点时斜率存在，设方程为y=kx，当直线不过原点时，设直线的方程为y=a-x，分别联立方程由△=0可得．

解答 解：当直线过原点时斜率存在，设方程为y=kx，
联立直线与圆的方程，消去y可得（k²+1）x²-（4+6k）x+12=0，
由相切可得△=（4+6k）²-48（k²+1）=0，解得k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴所求直线的方程为y=（2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）x，即$y=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}x或y=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}x$；
当直线不过原点时，设直线的方程为y=a-x，
联立直线与圆的方程消去y可得2x²-（-1-a）x+a²-6a+11=0，
由相切可得△=（-1-a）²-8（a²-6a+11）=0，解得a=5$±\sqrt{2}$，
∴所求直线的方程为$x+y-5+\sqrt{2}=0$或$x+y-5-\sqrt{2}=0$．
综上可得所求直线的方程为$y=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}x或y=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}x$或$x+y-5+\sqrt{2}=0$或$x+y-5-\sqrt{2}=0$

点评 本题考查直线与圆的相切关系，涉及分类讨论的思想和一元二次方程的根与判别式的关系，属中档题．