Question

【题目】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为.

(1) 求椭圆E的标准方程；

(2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)证明见解析

【解析】

（1）题中已知条件为＝，则－c＝，结合可求得椭圆标准方程；

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简，应用韦达定理得，代入化简，同理得，作比值可得定值．

(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，

＝，则－c＝，c2＝a2－b2，

解得a＝2，b＝1，c＝，

所以椭圆E的标准方程是＋y2＝1.

(2) 由题意，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简得

(1＋4)x2－8tx＋4t2－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1＋x2＝，x1x2＝，

因为PA＝|x1－t|，PB＝|x2－t|，

所以PA·PB＝(1＋)|x1－t||x2－t|＝(1＋)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2|

＝(1＋)|t2－＋|＝，

同理，PC·PD＝，

所以＝为定值．