Question

2．己知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$）dx，则（ax+$\frac{1}{2ax}$）⁹展开式中，x的一次项系数为（　　）

• A． -$\frac{63}{16}$
• B． $\frac{63}{16}$
• C． -$\frac{63}{8}$
• D． $\frac{63}{8}$

Answer 1

分析 首先由定积分求出a，然后利用二项式定理求展开式通项，得到所求．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$）dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（1-2sin²$\frac{x}{2}$）dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cosx）dx=$\frac{1}{2}$sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
则（$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{x}$）⁹展开式中，通项为${C}_{9}^{r}（\frac{1}{2}x）^{9-r}（\frac{1}{x}）^{r}=（\frac{1}{2}）^{9-r}{C}_{9}^{r}{x}^{9-2r}$，
所以9-2r=1时，即r=4时，x的一次项系数为$（\frac{1}{2}）^{5}{C}_{9}^{4}$=$\frac{63}{16}$；
故选：B．

点评 本题考查了定积分的计算依据二项式定理的应用；正确求出a是前提，利用展开式的通项求特征项是关键．