Question

5．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，1+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{2a}{b}$．
（]）求角C的大小；
（2）若cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，求sinA的值；
（3）若（a+b）²-c²=4，求3a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，整理可得sinA=2sinAcosC，由sinA≠0，解得cosC=$\frac{1}{2}$．即可解得C的值．
（2）由B∈（0，$\frac{2π}{3}$），B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用同角三角函数基本关系式可求sin（B+$\frac{π}{6}$），利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算求sinA的值．
（3）由（a+b）²-c²=4，整理可得：a²+b²-c²=4-2ab，由余弦定理可得a²+b²-c²=ab，从而解得ab=$\frac{4}{3}$，利用基本不等式即可得解．

解答 解：（1）∵1+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{2a}{b}$．
∴利用正弦定理，整理可得：$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=$\frac{2a-b}{b}$=$\frac{2sinA-sinB}{sinB}$，
∵sinB≠0，可得：sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC，可得：sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$．可得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，由（1）可得C=$\frac{π}{3}$，
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴可求sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinA=sin（B+C）=sin（B+$\frac{π}{3}$）=sin[（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．
（3）∵（a+b）²-c²=4，整理可得：a²+b²-c²=4-2ab，
又∵cosC=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得：$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，解得：a²+b²-c²=ab，
∴4-2ab=ab，解得ab=$\frac{4}{3}$，
∴3a+b≥2$\sqrt{3ab}$=2$\sqrt{3×\frac{4}{3}}$=4，当且仅当3a=b等号成立．
故3a+b的最小值为4．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．