Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-6，-

2

3

]时，判断函数y=f（x）+f（x+2）的单调性．

Answer 1

分析：（1）由题图知A=2，T=8，可求得ω，又图象经过点（1，2），可求得φ，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=2sin（ 

π

4

x+

π

4

），化简函数的表达式，利用正弦函数的最大值，求出函数的单调区间即可．

解答：解：（1）由题图知A=2，T=8，
∵T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

．
又图象经过点（1，2），
∴2sin（

π

4

+φ）=2．
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）函数y=f（x）+f（x+2）=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin（

π

4

x+

π

4

+

π

2

）
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）．
=2

2

cos

π

4

x．
由2kπ-π≤

π

4

x≤2kπ，得8k-4≤x≤8k（k∈Z）．
又x∈[-6，-

2

3

]，x=-4时，函数取得最大值．
故g（x）的单调递增区间为[-4，-

2

3

]．[-6，-4]是函数的单调减区间．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的对称性，属于中档题．