Question

18．在平行四边形ABCD中，$|{\overrightarrow{AD}}|=3，|{\overrightarrow{AB}}|=5，\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}，cosA=\frac{3}{5}$，则$|{\overrightarrow{EF}}$|=（　　）

• A． $\sqrt{14}$
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{11}$

Answer 1

分析 如图，取AE的中点G，连接BG，由题意可得$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{GB}$，再根据向量的三角形法则和向量的模以及向量的数量积公式计算即可．

解答 解：如图，取AE的中点G，连接BG
∵$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BF}$，
∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{GB}$，
∴|$\overrightarrow{GB}$|²=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AG}$|²=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AG}$+${\overrightarrow{AG}}^{2}$=5²-2×5×1×$\frac{3}{5}$+1=20，
∴|$\overrightarrow{EF}$|=|$\overrightarrow{GB}$|=2$\sqrt{5}$，
故选：B

点评 本题向量的三角形法则和向量的模以及向量的数量积公式，属于基础题．