Question

9．如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；
（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求$\frac{FH}{HC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）求出CD=1，证明四边形EFBG是平行四边形得出EG∥BF即可得出EG∥平面BDF；
（II）建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{AE}$的坐标，则直线AE与平面BDF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|；
（III）假设存在H点满足条件，求出平面HAD的法向量$\overrightarrow{m}$，令$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，根据方程是否有解得出结论．

解答 （I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，
∴CD=AB-2ADcos60°=1，即CD=$\frac{1}{2}$AB．
∵CD$\stackrel{∥}{=}$EF，CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，又BG=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BG，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∴EG∥BF，
又EG?平面BDF，BF?平面BDF，
∴EG∥平面BDF
（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD=$\sqrt{1+4-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD．
以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
∴$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（3）解：设H（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，h），（0≤h≤1）
当h=0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，
则$\overrightarrow{DH}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，h），$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），
设平面HAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DH}=0$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+hz=0}\\{x=0}\end{array}\right.$，令y=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{2h}$）．
假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{3}{2h}$=0，方程无解．
∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角，空间位置的关系，属于中档题．