[题目]将所有平面向量组成的集合记作.是从到的对应关系.记作或.其中...都是实数.定义对应关系的模为:在的条件下的最大值记作.若存在非零向量.及实数使得.则称为的一个特殊值,(1)若.求,(2)如果.计算的特征值.并求相应的,(3)若.要使有唯一的特征值.实数...应满足什么条件?试找出一个对应关系.同时满足以下两个条件:①有唯一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】将所有平面向量组成的集合记作，是从到的对应关系，记作或，其中、、、都是实数，定义对应关系的模为：在的条件下的最大值记作，若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特殊值；

（1）若，求；

（2）如果，计算的特征值，并求相应的；

（3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.

【答案】(1) ；(2) 当时,;当时, .其中且；(3) ,证明见解析

【解析】

(1)由新定义得,再利用得即可.

(2)由特征值的定义可得,由此可得的特征值,及相应的

(3) 解方程组,再利用平行向量的方法求解证明即可.

(1)由于此时,又因为是在的条件下,有,当时取最大值,所以此时有;

(2)由,可得：,

解此方程组可得：,从而.

当时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为 (写出一个即可),其中且.

当时,同理可得,相应的 (写出一个即可),其中且 (3)解方程组,可得从而向量与平行,从而有、、、应满足：.

当时,有唯一的特征值,且.具体证明为：

由的定义可知：,所以为特征值.

此时满足：,所以有唯一的特征值.

在的条件下,从而有.

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试卷编号
试卷得分	135	138	135	137	135	139	142	144	148	150

注:表中试卷编

(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可);

(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷,将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲乙两校这40份学生的试卷中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人,该3人在全市排名前15名的人数记为,求随机变量的分布列和期望.

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