Question

13．判断并证明函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$的奇偶性．

Answer 1

分析 根据题意，先求出函数f（x）的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；进而根据函数的定义域将f（x）的解析式化简，并验证f（-x）与f（x）的关系，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$为奇函数，
证明：对于函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$，则其x应该满足1-x²≥0，2-|x+2|≠0，
解可得-1≤x≤1，
即函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$的定义域为{x|-1≤x≤1}，关于原点对称，
又由f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$，且x∈{x|-1≤x≤1}，
则f（x）=-$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，则f（-x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，
即f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，注意要分析函数的定义域，进而将原函数化简进行判断．