Question

16．在△ABC中，D为AC上一点，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}，P$为BD上一点，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}（m＞0，n＞0）$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是9．

Answer 1

分析 利用向量共线定理可得：m+4n=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=$m\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AD}$，
∵P为BD上的一点，∴m+4n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（m+4n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}×\frac{m}{n}}$=9，
当且仅当m=2n=$\frac{1}{3}$时取等号．
故答案为：9．

点评 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．