Question

7．己知函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其中a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围；
（2）讨论（x）的零点个数，并说明理由．（参考数值：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性判断函数的零点根式即可．

解答 解：（1）f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
f（x）的定义域是（0，+∞），
若f（x）有极值，
则ax²-2x+a=0有2个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=1＞0}\\{△＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜1；
（2）由（1）得：f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
①若a≤0，则f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递减，
∵f（1）=0，∴f（x）有唯一零点；
②若a≥1，则f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
∵f（1）=0，∴f（x）有唯一零点；
③若0＜a＜1，记x₁，x₂分别为ax²-2x+a=0的两根，
且x₁＜1＜x₂，且f（x）在（0，x₁）递增，
在（x₁，x₂）递减，在（x₂，+∞）递增，
∵f（1）=0，故f（x₁）＞0，f（x₂）＜0，
当x∈（0，x₁）时，取x₀=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，
令h（a）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，a∈（0，1），
h′（a）=$\frac{{3a}^{4}+16（1-a）}{{a}^{2}}$，
显然h′（a）＞0，所以h（a）在（0，1）递增，
∴h（a）＜h（1）=4ln2-$\frac{15}{4}$＜0，
故f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）＜0，故f（x）在x∈（$\frac{{a}^{2}}{4}$，x₁）有1个零点，
∵f（$\frac{1}{x}$）=a（$\frac{1}{x}$-x）-2ln$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f$\frac{4}{{a}^{2}}$）＞0，∴f（x）在x∈（x₂，$\frac{4}{{a}^{2}}$）上有1个零点，
综上，a≤0或a≥1时，f（x）有唯一零点，
0＜a＜1时，f（x）有3个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．