【题目】设函数,已知
不单调,且其导函数
存在唯一零点.
(1)求的取值范围;
(2)若集合,
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)由题意得有唯一零点,且
在零点两侧的符号相反.
,
.对a分类讨论,分析函数的单调性从而得到
的取值范围;
(2)由(1)知,设
,即
.则
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,∴
的值域为
,即
.
要使,只需
(1)由题意得有唯一零点,且
在零点两侧的符号相反.
,
.
①当时,
,故
在区间
上单调递增,又
时,
,
故在区间
上存在唯一零点且在零点两侧的符号相反.
②当时,
,得
,故
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
若,则
存在唯一零点,但在零点两侧都为负,不合题意;
若,则
恒成立,此时
无零点,不合题意;
若,又
时,
,
时,
,此时
有两个零点,不合题意.
综上所述,的取值范围是
.
(2)由(1)知,设
,即
.
则在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
∴的值域为
,即
.
要使,只需
,即
,
也就是.
又,故
,即
.
又在区间
上单调递增函数,
∴要证 只要证
,即
.
而,故结论得证.
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【题目】设定义在[﹣2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1﹣m)<f(3m).
(1)若函数f(x)在区间[﹣2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[﹣2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围.
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【题目】(1)已知直线经过点
,倾斜角
.设
与圆
相交与两点A,B,求点P到两点的距离之积.
(2)在极坐标系中,圆C的方程为,直线
的方程为
.
①若直线过圆C的圆心,求实数
的值;
②若,求直线
被圆C所截得的弦长.
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【题目】一个不透明的袋子中有大小形状完全相同的个乒乓球,乒乓球上分别印有数字
,小明和小芳分别从袋子中摸出一个球(不放回),看谁摸出来的球上的数字大.小明先摸出一球说:“我不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”然后小芳摸出一球说:“我也不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”那么小芳摸出来的球上的数字是______.
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【题目】设n为正整数集合,n对于集合A中的任意元素
和
,记
.
(1)当时,若
,
,求
和
的值;
(2)当时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,
是奇数;当α,β不同时,
是偶数.求集合B中元素个数的最值.
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