Question

【题目】已知向量，向量，函数.

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角降幂公式以及辅助角公式得出，由计算出的取值范围，然后利用正弦函数的图象和性质得出函数在区间上的最大值和最小值；

（2）将问题转化为两个函数和函数在区间上是否存在交点问题.

（1），，，，

因此，函数在区间上的最大值为，最小值为；

（2）存在大于的正实数，使得不等式在区间有解，

即存在大于的正实数，使得不等式在区间有解，

令，，

则当时，函数单调递增，函数单调递增，

又，，，，

函数与函数在有且仅有一个交点，

故存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.