Question

7．已知函数f（x）=xlnx-ax²在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为即a≥$\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=lnx-2ax+1，
若f（x）在（0，+∞）递减，
则lnx-2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=-$\frac{lnx}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．