Question

12．已知函数f（x）=（x-3）e^x+ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈[0，e）时，设函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为g（a），求函数g（a）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；
（Ⅱ）设h（x）=f'（x），得到h（x）在（1，+∞）上有唯一零点x=m（m∈（1，2]），根据函数的单调性求出g（a），从而求出g（a）的值域即可．

解答 解：由题意得f'（x）=（x-2）e^x+a，（1分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=（x-2）e^x+1，所以f'（2）=1，
又因为f（2）=-e²+2，
则所求的切线方程为y-（-e²+2）=x-2，即x-y-e²=0．（4分）
（Ⅱ）设h（x）=f'（x），则h'（x）=（x-1）e^x＞0对于?x＞1成立，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，又因为a∈[0，e），
则h（1）=-e+a＜0，h（2）=a≥0，
所以h（x）在（1，+∞）上有唯一零点x=m（m∈（1，2]）．（6分）
则函数f（x）在（1，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，
因此当a∈[0，e）时，函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（m）．（8分）
因为（m-2）e^m+a=0，则-a=（m-2）e^m，当a∈[0，e）时，有m∈（1，2]．
所以函数f（x）有最小值f（m）=（m-3）e^m-（m-2）me^m=（-m²+3m-3）e^m，（10分）
令φ（m）=（-m²+3m-3）e^m（m∈（1，2]），
则φ'（m）=（-m²+m）e^m＜0在（1，2]上恒成立，所以φ（m）在（1，2]上单调递减，
因为φ（2）=-e²，φ（1）=-e，所以φ（m）的值域为[-e²，-e），
所以g（a）的值域为[-e²，-e）．（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．