Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，则p=1．

Answer 1

分析 求出A，B的坐标，代入三角形面积公式可得b与a，b的关系，根据离心率公式得出a，b的关系，从而可求出p的值．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}x$，抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∴A（-$\frac{p}{2}$，$\frac{bp}{2a}$），B（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{bp}{2a}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×\frac{bp}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴bp²=$\sqrt{3}$a，即p²=$\frac{\sqrt{3}a}{b}$．
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}=2$，∴b²=3a²，即$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴p²=$\frac{\sqrt{3}a}{b}$=1．
∴p=1．
故答案为1．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的性质，属于中档题．