Question

如图，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E是BC中点，点F在PB上，且PE=2FB．
（1）求证：AC⊥平面AEF；
（2）求证：PD∥平面AEF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直的判定定理进行判定，（2）设AE交BD于G，得

BF

FP

=

1

2

=

BG

DG

，连接FG，有FG∥PD，FG?AEB，PD?AEF，从而得出线面平行．

解答： 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面PBD；
（2）设AE交BD于G，
∵点E是BC中点，ABCD是正方形，
∴

BG

DG

=

BE

AD

=

1

2

，
∵PF=2FB，∴

BF

FP

=

1

2

=

BG

DG

，
∴连接FG，有FG∥PD，
∵FG?AEB，PD?AEF，
∴PD∥平面AEF．

点评：本题考查了线面垂直，线面平行的判定，牢记并理解判定定理是证明的关键．