Question

11．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+1}}$（x∈R），如图是函数f（x）在[0，+∞）上的图象，
（1）求a的值，并补充作出函数f（x）在（-∞，0）上的图象，说明作图的理由；
（2）根据图象指出（不必证明）函数的单调区间与值域；
（3）若方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件先求出a的值，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．
（2）结合函数的图象进行判断求解即可．
（3）根据图象结合方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，得到关于b的关系即可得到结论．

解答 解：（1）∵由图象可知f（1）=$\frac{a}{2}$=2，∴a=4…（1分）
∴f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
∵f（-x）=$\frac{-4x}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数，其图象关于原点对称…（2分），
补充图象如图：
…（4分），
（2）由图象知函数的单调递增区间为为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1]，[1，+∞），值域为[-2，2]．
（3）由图象知，若方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，
则0＜lnb＜2或-2＜lnb＜0，
即1＜b＜e²或e^-2＜b＜1，
则b的取值范围是1＜b＜e²或e^-2＜b＜1．

点评 本题主要考查函数图象和性质的综合应用，根据条件先求出a的值是解决本题的关键．