Question

6．函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 分类讨论，去掉函数解析式的绝对值符号，利用导数法，分别求出满足函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在区间[0，2]上单调递增的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：当a＜0时，令y=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，
则y′=e^x-$\frac{a}{{e}^{x}}$＞0恒成立，
故y=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$为增函数，
令y=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$=0，
则x=$\frac{1}{2}$ln（-a），
若函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在区间[0，2]上单调递增，
则$\frac{1}{2}$ln（-a）≤0，
解得：a∈[-1，0），
当a=0时，f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|=e^x在区间[0，2]上单调递增，
当a＞0时，e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$＞0恒成立，函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，
令y′=e^x-$\frac{a}{{e}^{x}}$=0，则x=$\frac{1}{2}$lna，
当x＜$\frac{1}{2}$lna时，y′＜0函数为减函数，
当x＞$\frac{1}{2}$lna时，y′＞0函数为减增函数，
若函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在区间[0，2]上单调递增，则$\frac{1}{2}$lna≤0，
解得：a∈（0，1]，
综上所述，a∈[-1，1]．
故答案为：[-1，1]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象和性质，导数法确定函数的单调性，是函数与导数的综合应用．