Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=1+asint\end{array}\right.$（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C₃的极坐标方程为θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲线C₁的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C₁是圆，化为一般式，结合x²+y²=ρ²，y=ρsinθ化为极坐标方程；
（Ⅱ）化曲线C₂、C₃的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C₁与C₂的公共弦所在直线方程，把C₁与C₂的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a²=0，则a值可求．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=1+asint\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=acost}\\{y-1=asint}\end{array}\right.$，两式平方相加得，x²+（y-1）²=a²．
∴C₁为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
化为一般式：x²+y²-2y+1-a²=0．①
由x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，得ρ²-2ρsinθ+1-a²=0；
（Ⅱ）C₂：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，②
即（x-2）²+y²=4．
由C₃：θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，得y=2x，
∵曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，
∴y=2x为圆C₁与C₂的公共弦所在直线方程，
①-②得：4x-2y+1-a²=0，即为C₃ ，
∴1-a²=0，
∴a=1（a＞0）．

点评 本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．