Question

4．已知函数f（x）=x-e^ax（a＞0）（e是自然对数的底数），
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）若存在x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，证明：$\frac{x_1}{x_2}＜ae$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出x₁-x₂＜$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），得到$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{ax}_{1}}}{{e}^{{ax}_{2}}}$=e^ax₁-ax₂，代入整理即可．

解答 解：（1）f（x）=x-e^ax（a＞0），则f′（x）=1-ae^ax，
令f′（x）=1-ae^ax=0，则x=$\frac{1}{a}$ln  $\frac{1}{a}$．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$	↘

（2）证明：若函数f（x）有两个零点，则f（$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$，
而此时，f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-e＞0，由此可得x₁＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$，即x₁-x₂＜$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），
又∵f（x₁）=x₁-e^ax₁=0，f（x₂）=x₂-e^ax₂=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{ax}_{1}}}{{e}^{{ax}_{2}}}$=e^ax₁-ax₂=e^{a（x₁-x₂）}＜e^{a[$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$）]}=e^ln（ae）=ae．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．