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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

    （1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

    （2）若射线（）与曲线， 分别交于， 两点，求.

    【答案】（1）曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程

    （2）的最小值为3

    【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数可求曲线的普通方程， 利用 即可得结果曲线的极坐标方程；（2）将代入曲线的极坐标方程得，解得，同理将曲线的极坐标方程得，可得.

    试题解析：（1）由，有曲线的普通方程为.

    把， ，代入得，

    化简得，曲线的极坐标方程.

    （2）依题意可设， .

    因为曲线的极坐标方程为，

    将（）代入曲线的极坐标方程得，解得.

    同理将（）曲线的极坐标方程得，所以.

    练习册系列答案
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    【题目】为了调查某高中学生每天的睡眠时间，随即对20名男生和20名女生进行问卷调查.

    （1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“睡眠严重不足”的概率；

    （2）完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

    参考公式： ，

    临界表值：

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    (Ⅰ)求证： 平面；

    （Ⅱ）设，求二面角大小的正弦值.

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    男性

    女性

    合计

    20～35岁

    40

    100

    36～50岁

    40

    90

    合计

    100

    90

    190

    (1)求统计数据表中的值；

    (2)假设用抽到的100名20～35岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使用“DD共享单车”情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取3人，求恰有一名女性的概率；

    (3)根据以上列联表，判断使用“DD共享单车”的人群中，能否有的把握认为“性别”与“年龄”有关，并说明理由.

    参考数表：

    参考公式： ， .

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    【题目】五一期间，某商场决定从种服装、种家电、种日用品中，选出种商品进行促销活动.

    （1）试求选出种商品中至少有一种是家电的概率；

    （2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高元，规定购买该商品的顾客有次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为元的奖金；若中两次奖，则获得数额为元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问: 商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

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    【题目】已知函数, .

    （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

    （Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

    （Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.

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    【题目】为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数,满足100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题.

    分组

    频数

    频率

    5

    0.05

    0.20

    35

    25

    0.25

    15

    0.15

    合计

    100

    1.00

    （1）求的值并估计这100名考生成绩的平均分；

    （2）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；

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    【题目】已知是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，给出下列命题：

    ①若， ，则；

    ②若， ， ，则；

    ③若， ， ，则；

    ④当，且时，若，则.

    其中正确命题的个数是( )

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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