Question

已知函数f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer 1

思路分析　由题意可知，方程4^x＋m·2^x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．

解析　∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且仅有一个零点，

即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0仅有一个实根．

设2^x＝t(t＞0)，则t²＋mt＋1＝0.

当Δ＝0时，即m²－4＝0，

∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，

∴2^x＝1，x＝0符合题意．

当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，

t²＋mt＋1＝0有两正或两负根，

即f(x)有两个零点或没有零点．

∴这种情况不符合题意．

综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.