Question

1．已知$\overrightarrow a=（2，1），\overrightarrow b=（-3，-4），\overrightarrow c⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$
（1）求$（2\overrightarrow a+3\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$；
（2）若向量$\overrightarrow c$为单位向量，求向量$\overrightarrow c$的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用向量模的公式可得$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=5，$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{b}$|²=25，运用向量的数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（m，n），可得m²+n²=1，再由向量垂直的条件：向量的数量积为0，解方程即可得到m，n的值，进而得到所求向量的坐标．

解答 解：（1）$\overrightarrow a=（2，1），\overrightarrow b=（-3，-4），\overrightarrow c⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，
$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=4+1=5，$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{b}$|²=9+16=25，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6-4=-10，
$（2\overrightarrow a+3\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$=2$\overrightarrow{a}$²-6$\overrightarrow{b}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×5-6×25+10=-130；
（2）向量$\overrightarrow c$为单位向量，设$\overrightarrow{c}$=（m，n），
可得m²+n²=1，
由条件可得$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即有（m，n）•（5，5）=0，
可得5m+5n=0，
解得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即有向量$\overrightarrow c$的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，向量的模的公式以及向量的平方即为模的平方，考查化简运算能力，属于中档题．