Question

11．已知抛物线C：y²=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．
（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得P点坐标，求得直线PF的方程，代入抛物线方程，若四边形AEBD为平行四边形，当且仅当${x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}$=$\frac{{4{{（1-{k^2}）}^2}}}{k^2}+2={x_3}+{x_4}$，即k²（k²-1）=0，求得k的值，由k不满足|k|＜1且k≠0，故不存在k使得四边形AEBD为平行四边形．
（Ⅱ）由$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}=\frac{{{{（{\frac{2}{k^2}-2}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}{{{{（{\frac{2}{k^2}}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}=\frac{{{k^4}-{k^2}+1}}{{{k^2}+1}}={k^2}+1+\frac{3}{{{k^2}+1}}-3$，根据k的取值范围，即可求得$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
显然k≠0，且△＞0，即（2k²-4）²-4k⁴＞0，得|k|＜1且k≠0．
得${x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}$，x₁x₂=1，…（4分）
${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2}{k^2}-1$，${y_P}=k[（\frac{2}{k^2}-1）+1]=\frac{2}{k}$．
直线PF的方程为：$y=\frac{k}{{1-{k^2}}}（x-1）$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k}{{1-{k^2}}}（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，
得$\frac{k^2}{{{{（1-{k^2}）}^2}}}{x^2}+（\frac{{2{k^2}}}{{{{（1-{k^2}）}^2}}}+4）x+\frac{k^2}{{{{（1-{k^2}）}^2}}}=0$，
得${x_3}+{x_4}=\frac{{4{{（1-{k^2}）}^2}}}{k^2}+2$，x₃x₄=1，…（6分）
若四边形AEBD为平行四边形，
当且仅当${x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}$=$\frac{{4{{（1-{k^2}）}^2}}}{k^2}+2={x_3}+{x_4}$，
即k²（k²-1）=0，
得k=0，±1，与|k|＜1且k≠0矛盾．          …（8分）
故不存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形；  …（9分）
（Ⅱ）$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}=\frac{{{{（{\frac{2}{k^2}-2}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}{{{{（{\frac{2}{k^2}}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}=\frac{{{k^4}-{k^2}+1}}{{{k^2}+1}}={k^2}+1+\frac{3}{{{k^2}+1}}-3$，…（11分）
由|k|＜1且k≠0，得1＜k²+1＜2；
当${k^2}+1=\sqrt{3}$，$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$取得最小值$2\sqrt{3}-3$；
当k²+1=1时，$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$取1；当k²+1=2时，$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$取$\frac{1}{2}$；
所以$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}∈[2\sqrt{3}-3，1）$．…（13分）

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，函数的最值与抛物线的应用，考查计算能力，属于中档题．