Question

2．已知线段AB的长度为3，其两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与x轴正半轴的交点为D，过点D作倾斜角为α、β的两条直线，分别交曲线C于P、Q两点，当$α+β=\frac{π}{2}$时，直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），依题意A（$\frac{3x}{2}$，0），B（0，3y），由此能求出M轨迹C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得D（2，0）．
①当α、β不为0时，由$α+β=\frac{π}{2}$得tanα•tanβ=1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=1$⇒y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4，直线PQ：y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得结论．
②当α、β中有一个为0时，直线PQ为x轴，符合题意．

解答 解：（1）设M（x，y），依题意A（$\frac{3x}{2}$，0），B（0，3y），
由|AB|=3，得$\frac{9{x}^{2}}{4}$+9y²=9，
∴M轨迹C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得D（2，0）．
①当α、β不为0时，由$α+β=\frac{π}{2}$得tanα•tanβ=1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=1$⇒y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
设直线PQ：y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
由⇒y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4得$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}+\frac{16km}{1+4{k}^{2}}+4$，
化简得3m²+16km+20k²=0，解得m=-2k或m=-$\frac{10}{3}k$
当m=-2k时，直线方程为y=k（x-2）不符合题意．
当m=-$\frac{10}{3}$k时，直线方程为y=k（x-$\frac{10}{3}$），过定点（$\frac{10}{3}$，0），符合题意．
②当α、β中有一个为0时，直线PQ为x轴，过定点（$\frac{10}{3}$，0），符合题意．
综上，当$α+β=\frac{π}{2}$时，直线PQ过定点（$\frac{10}{3}$，0）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．属于中档题．