Question

17．如图，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长为80米，设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）若α=30°，β=15°，求AD的长．
（2）设计中CD是铅垂方向（CD垂直于AB），若要求α≥2β，问CD的长至多为多少？

Answer 1

分析 （1）先求出∠ADB=135°，由此利用正弦定理能求出AD．
（2）由$α≥2β且0＜2β≤α＜\frac{π}{2}$，得到tanα≥tan2β，由此能求出CD的长．

解答 解：（1）∵α=30°，β=15°，∴∠ADB=135°
∵$\frac{AB}{{sin{{135}°}}}=\frac{AD}{{sin{{15}°}}}$
∴$AD=\frac{{115sin{{15}°}}}{{sin{{135}°}}}=115\sqrt{2}sin（{45°}-{30°}）$=$\frac{{115（\sqrt{3}-1）}}{2}（米）$
（2）∵$α≥2β且0＜2β≤α＜\frac{π}{2}$
∴$tanα≥tan2β，即\frac{|CD|}{35}≥\frac{{2×\frac{|CD|}{80}}}{{1-\frac{{|CD{|^2}}}{6400}}}$
解得$|CD|≤20\sqrt{2}$，
∴CD的长至多约为$20\sqrt{2}$米．

点评 本题考查三角形中边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．