Question

12．如图所示，多面体ABCDMN的底面ABCD是AB=2，AD=1的矩形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB余ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=$\frac{2}{3}$．
（1）求证：QP∥平面AMD；
（2）求三棱锥M-BCN的体积．

Answer 1

分析 （1）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到$\frac{BP}{PM}=\frac{NB}{MD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{QB}{QA}=\frac{1}{2}$，$\frac{QB}{QA}=\frac{BP}{PM}$
于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．
（2）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是CO为四棱锥A-MNBD的高，进而得到VC_-MNBD的体积．由V_M-BCN=V_C-MNBD-V_M-BDC即可得出答案．

解答 解：（1）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．
∴$\frac{BP}{PM}=\frac{NB}{MD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{QB}{QA}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{QB}{QA}=\frac{BP}{PM}$
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（2）连接DB，过C作CO⊥DB于O，
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥OC，又BD∩MD=D，
∴OC⊥平面MNBD．
∴CO为四棱锥C-MNBD的高，且CO=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，又S_MNBD=$\frac{1}{2}×（1+2）×\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
V_C-MNBD=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{2}{\sqrt{5}}=1$
V_M=BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2=\frac{2}{3}$，
∴V_M-BCN=V_C-MNBD-V_M-BDC=1-$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判断，几何体的体积计算，属于中档题．