Question

12．对数列{a_n}，{b_n}，若对任意的正整数n，都有[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]且$\lim_{n→∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$，则称[a₁，b₁]，[a₂，b₂]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（　　）

• A． ${a_n}=\frac{n}{n+1}，{b_n}=\frac{2n+1}{n}$
• B． ${a_n}=\frac{n}{n+1}，{b_n}=\frac{n+2}{n+3}$
• C． ${a_n}={（\frac{1}{2}）^n}，{b_n}={（\frac{2}{3}）^n}$
• D． ${a_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}，{b_n}=1+{（\frac{1}{3}）^n}$

Answer 1

分析 对于A，运用数列的极限，即可判断；对于B，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；
对于C，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；
对于D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．

解答 解：对于A，$\underset{lim}{n→∞}$（b_n-a_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2n+1}{n}$-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{n+1}$=2-1=1≠0，故不构成区间套；
对于B，当n=1时，[a₁，b₁]=[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]，[a₂，b₂]=[$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$]，显然不满足[a₂，b₂]?[a₁，b₁]，故不构成区间套；
对于C，当n=1时，[a₁，b₁]=[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，[a₂，b₂]=[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{9}$]，显然不满足[a₂，b₂]?[a₁，b₁]，故不构成区间套
对于D，由1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＜1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹＜1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，满足[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]；又$\underset{lim}{n→∞}$（b_n-a_n）
=$\underset{lim}{n→∞}$[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-$\underset{lim}{n→∞}$[1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]=1-1=0，故构成区间套．
故选：D．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查运算能力，属于中档题．