Question

2．在平面直角坐标系xOy中．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知点P的极坐标为（1，$\frac{π}{6}$）．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．过点P的直线l交曲线C于M，N两点．
（1）若在直角坐标系下直线1的倾斜角为α，求直线1的参数方程和曲线C的普通方程；
（2）求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）点P的极坐标为（1，$\frac{π}{6}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化为直角坐标．利用点斜式即可得出直线l的参数方程．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：t²+$（\sqrt{3}cosα+sinα-4cosα）$t+1-2$\sqrt{3}$=0．利用|PM|•|PN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）点P的极坐标为（1，$\frac{π}{6}$）化为：直角坐标$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{1}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{1}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程可得：t²+$（\sqrt{3}cosα+sinα-4cosα）$t+1-2$\sqrt{3}$=0．
∴t₁t₂=1-2$\sqrt{3}$．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=2$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．