Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=2S_n+1（n∈N^*），变形S_n+1+1=2（S_n+1），利用等比数列的通项公式可得S_n．再利用递推关系即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴S_n+1=2ⁿ，∴S_n=2ⁿ-1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
当n=1时也成立，
∴a_n=2^n-1．
（2）S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．