Question

12．已知点O是△ABC的外心，AB=4，AO=3，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围是（　　）

• A． [-4，24]
• B． [-8，20]
• C． [-8，12]
• D． [-4，20]

Answer 1

分析 首先以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出A，B点的坐标，C在圆上，从而可设C（3cosθ，3sinθ），这样便可求出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐标，进行数量积的坐标运算便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=12cosθ+8$，根据cosθ的范围便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范围．

解答 解：如图，以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则：
$A（-2，-\sqrt{5}），B（2，-\sqrt{5}）$；
C在以3为半径的圆上，设C（3cosθ，3sinθ）；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=（4，0）•（3cosθ+2，3sinθ+\sqrt{5}）$=12cosθ+8；
∵-1≤cosθ≤1；
∴-4≤12cosθ+8≤20；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范围为[-4，20]．
故选：D．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，能求出图形上点的坐标，用三角函数表示圆上点的坐标的方法，以及数量积的坐标运算，余弦函数的取值范围．