Question

4．已知函数f（x）=x²-a|x-1|-1．
（1）当a=4时，求y=f（x）的单调区间；
（2）若x∈R时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对绝对值函数分类讨论，去绝对值，利用二次函数得出函数的单调性；
（2）去绝对值，分别求出a的范围，最后取交集即可．

解答 解：（1）当a=4时，y=f（x）=x²-4|x-1|-1，
当x≥1时，f（x）=x²-4（x-1）-1=（x-3）（x-1），
当x＜1时，f（x）=x²+4（x-1）-1=（x+5）（x-1），
∴f（x）的单调增区间为（-2，1）和（2，+∞），减区间为（-∞，-2）和（1，2）；
（2）f（x）≥0恒成立，
∴x²-1≥a|x-1|，
当x≥1时，x+1≥a，
∴a≤2，
当x≤1时，x+1≤-a，
∴a≤-2，
∴a≤-2，

点评 考查了分段函数的应用和恒成立问题．