Question

17．已知曲线C：y=$\frac{1}{t-x}$经过点P（2，-1）．
（1）求曲线C在点P处的切线方程；
（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）代入（2，-1），可得t=1，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）设出切点，求得切线的斜率和切线的方程，代入原点，解方程可得m，切线的斜率，进而得到切线的方程．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{1}{t-2}$=-1，
解得t=1，
即有y=$\frac{1}{1-x}$，导数为y′=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
曲线C在点P处的切线斜率为1，
可得曲线C在点P处的切线方程为y+1=x-2，
即为x-y-3=0；
（2）设切点为（m，$\frac{1}{1-m}$），
可得切线的斜率为$\frac{1}{（m-1）^{2}}$，
切线的方程为y-$\frac{1}{1-m}$=$\frac{1}{（m-1）^{2}}$（x-m），
代入点（0，0），可得-$\frac{1}{1-m}$=-$\frac{m}{（m-1）^{2}}$，
解得m=$\frac{1}{2}$，切线的斜率为4，
即有与曲线C相切的切线方程为y=4x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意确定切点和正确求导是解题的关键，属于基础题．