Question

已知函数f（x）=asinxcosx-2cos²x+1的图象经过点(

π

8

，0)．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，π），且f（x）=1，求x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数f（x）=asinxcosx-2cos²x+1用二倍角化简，再代入点(

π

8

，0)建立方程求a值．
（Ⅱ）由（Ⅰ），将求出的a值代入，用两角差的余弦公式化简，将f（x）=1代入，得到sin(2x-

π

4

)=

2

2

，求出可能的角，再由x∈[0，π），鉴别求出x的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=asinxcosx-2cos2x+1=

a

2

sin2x-cos2x（3分）
依题意得f(

π

8

)=0，
即

a

2

sin

π

4

-cos

π

4

=0，
解得a=2（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

).
依题意得sin(2x-

π

4

)=

2

2

（9分）
因为0≤x＜π，
所以-

π

4

≤2x-

π

4

＜

7π

4

，
所以2x-

π

4

=

π

4

或

3π

4

.
解得x=

π

4

或

π

2

.（12分）

点评：本考点是二倍角公式，考查方法是用二倍角公式化简求值．