【题目】已知 为整数,且,,为正整数,,,记.
(1)试用分别表示;
(2)用数学归纳法证明:对一切正整数,均为整数.
【答案】(1) ; (2)见解析.
【解析】
(1)令,结合条件,即可求解;
(2)运用数学归纳法和两角和差的公式,结合条件,即可得到证明.
(1)由题意,令,可得,
所以
(2) ①当n=1时,由(1)得A1=x2-y2,B1=2xy.
因为x,y为整数,
所以A1,B1均为整数,所以结论成立;
②当n=k(k≥2,k∈N*)时,假设Ak,Bk均为整数,
则当n=k+1时,Ak+1=(x2+y2)k+1cos (k+1)θ
=(x2+y2)(x2+y2)k(cos kθcos θ-sin kθsin θ)
=(x2+y2)cos θ·(x2+y2)kcos kθ-(x2+y2)ksin kθ·(x2+y2)sinθ
=A1·Ak-B1·Bk.
因为A1,B1,均为整数,所以Ak+1也为整数,
即当n=k+1时,结论也成立.
综合①②得,对一切正整数n,An均为整数.
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【题目】已知函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx+1
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的极大值;
(Ⅱ)求a的范围,使得f(x)≥1恒成立.
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【题目】已知平面直角坐标系,直线过点,且倾斜角为,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程和圆的标准方程;
(2)设直线与圆交于、两点,若,求直线的倾斜角的值.
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【题目】如图,某机械厂要将长,宽的长方形铁皮进行裁剪.已知点为的中点,点在边上,裁剪时先将四边形沿直线翻折到处(点,分别落在直线下方点,处,交边于点,再沿直线裁剪.
(1)当时,试判断四边形的形状,并求其面积;
(2)若使裁剪得到的四边形面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,且,AC=BC=2,D,E分别为AB,PB中点,PD⊥平面ABC,PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值;
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
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【题目】近一段时间来,由于受非洲猪瘟的影响,各地猪肉价格普遍上涨,生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战,目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场,均养有1万头猪.根据猪的重量,将其分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 | 幼年期 | 成长期 | 成年期 |
重量(Kg) |
根据以往经验,两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度,高度重视其质量保证,为了养出健康的成年活猪,甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为,.
(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量;
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪,若为健康合格的猪 ,则可盈利元,若为不合格的猪,则亏损元;乙养猪场出售一头成年期的猪,若为健康合格的猪 ,则可盈利元,若为不合格的猪,则亏损元.记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润,求随机变量的分布列,假设两养猪场均能把成年期猪售完,求两养猪场的总利润期望值.
(参考数据:若,则,,)
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【题目】“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法,该方法的算法流程如图所示,根据程序框图计算,当a=35,b=28时,该程序框图运行的结果是( )
A.a=6,b=7B.a=7,b=7C.a=7,b=6D.a=8,b=8
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【题目】如图1,平面四边形ABCD中,,,且BC=CD.将CBD沿BD折成如图2所示的三棱锥,使二面角的大小为.
(1)证明:;
(2)求直线BC'与平面C'AD所成角的正弦值.
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