Question

17．函数f（x）=$\frac{1}{x}$+x+alnx（a＜0）单调增区间是（$\frac{-a\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 先求导，$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+1+\frac{a}{x}=\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}（x＞0）$，再令f′（x）＞0，即x²+ax-1＞0（x＞0），从而转化为求不等式的解的问题，注意到h（x）=x²+ax-1中，h（0）＜0且开口向上，结合着图象，不难得出答案．

解答 $f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+1+\frac{a}{x}=\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}（x＞0）$，
令f′（x）＞0，则x²+ax-1＞0（x＞0），
设h（x）=x²+ax-1（x＞0），由h（0）＜0知，
h（x）有一正一负两个零点，又开口向上，
结合图象易得，当$x＞\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间是$（\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞）$．
故答案为$（\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞）$

点评 本题是导数单调性的常见题型，在求函数的单调区间时，要学会简化问题，如本题中，最后简化成求不等式x²+ax-1＞0（x＞0）的解集问题，此时只需要结合着图象，利用数形结合的方式即可很快的得到答案，特别是在选择填空题里，数形结合不失为一种简单快捷的好方法．