Question

9．设直线l：x+y+m=0，圆C：（x-2）²+（y-1）²=9的圆心为C，直线l与圆C交于A，B两点．
（1）若m=-2，求△ABC的面积；
（2）设直线AC、BC的斜率分别为k₁，k₂，若k₁•k₂=-2，试求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心到直线的距离，|AB|，即可求△ABC的面积；
（2）直线l：x+y+m=0，圆C：（x-2）²+（y-1）²=9联立，利用韦达定理，结合k₁•k₂=-2．斜率公式，即可求实数m的值．

解答 解：（1）若m=-2，直线l：x+y-2=0，∴圆心到直线的距离d=$\frac{|2+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{34}×\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线l：x+y+m=0，圆C：（x-2）²+（y-1）²=9联立可得2x²+（2m-2）x+m²+2m-4=0．
∴x₁+x₂=1-m，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²+2m-4）
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m+1）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=-2，
∴3x₁x₂+（m-3）（x₁+x₂）+（m+1）²+8=0
∴3•$\frac{1}{2}$（m²+2m-4）+（m-3）（1-m）+（m+1）²+8=0，
∴m²+4m-2=0，
∴m=-2±$\sqrt{6}$

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．