Question

1．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=2．
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．

Answer 1

分析 （1）运用基本不等式m+n≥2$\sqrt{mn}$（m，n＞0），当且仅当m=n取得等号，计算即可得到最小值；
（2）运用乘1法和基本不等式即可得到最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：（1）由a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=2，
可得2=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，
即ab≥2，当且仅当b=2a=2时取得等号，
 则ab的最小值为2；                                                           
（2）a+2b=$\frac{1}{2}$（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}$）=$\frac{9}{2}$；
等号成立的充要条件是a=b=$\frac{3}{2}$，
∴a+2b的最小值为$\frac{9}{2}$；此时a=b=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，同时注意运用乘1法，考查运算能力，属于中档题和易错题．