Question

10．已知直线l：x+y-4=0，定点P（2，0），E，F分别是直线l和y轴上的动点，则△PEF的周长的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． 6
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得点P（2，0）关于直线l：x+y-4=0的对称点P′的坐标，再求得P′关于y轴的对称点为P″的坐标，可得此时△PEF的周长的最小值为PP″，计算求得结果．

解答 解：如图所示：设P′是点P（2，0）关于直线l：x+y-4=0的对称点，设P′（a，b），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}=-1}\\{\frac{a+2}{2}+\frac{b+0}{2}-4=0}\end{array}\right.$求得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，可得P′（4，2）．
设P′关于y轴的对称点为P″（m，n），易得P″（-4，2），则直线PP″和y轴的交点为F，
FP′和直线l的交点为E，则此时，
△PEF的周长为EF+EP+PF=EF+EP′+PF=P′F+PF=P″F+PF=PP″=2$\sqrt{10}$，
为最小值，
故选：A．

点评 本题主要考查求点关于直线的对称点的坐标，线段的中垂线的性质，三点共线的性质，属于中档题．