Question

20．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）设BC₁∩CB₁于点O，连结OD，则OD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（2）推导出AC⊥BC，AC⊥C₁C，从而∠AB₁C是直线AB₁与平面B₁BCC₁所成角，由此能求出直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答 证明：（1）如图，设BC₁∩CB₁于点O，连结OD，
∵O、D分别是BC₁和AB的中点，∴OD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，
又∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵AC=4，BC=3，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，∴AC⊥C₁C，
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴直线B₁C是斜线AB₁在平面B₁BCC₁上的射影，
∴∠AB₁C是直线AB₁与平面B₁BCC₁所成角，
在Rt△AB₁C中，B₁C=5，AC=4，
∴tan∠AB₁C=$\frac{4}{5}$，
即直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查直线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意综合法的合理运用．