Question

12．已知f（x）是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（-1，0）对称；③x∈（-4，0）时，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）．若y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有7个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-e^-2）
• B． （-1-e^-2，-e^-2）
• C． （-1-e^-2，0）
• D． （-1-e^-2，-1-3e^-4）

Answer 1

分析 可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（-4，0）时，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）有两个零点，从而转化为xe^x+e^x-m=1在（-4，0）上有两个不同的解，再令g（x）=xe^x+e^x-m-1，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．

解答 解：∵曲线y=f（x+1）关于点（-1，0）对称；
∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；
∴f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，
又∵f（4）=0，
∴f（-4）=0，
而y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有7个零点，
故x∈（-4，0）时，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）有两个零点，
而f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）
=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m）
=log₂（xe^x+e^x-m），
故xe^x+e^x-m=1在（-4，0）上有两个不同的解，
令g（x）=xe^x+e^x-m-1，
g′（x）=e^x+xe^x+e^x=e^x（x+2），
故g（x）在（-4，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数；
而g（-4）=-4e^-4+e^-4-m-1，g（0）=1-m-1=-m，g（-2）=-2e^-2+e^-2-m-1，
而g（-4）＜g（0），
故-2e^-2+e^-2-m-1＜0＜-4e^-4+e^-4-m-1，
故-1-e^-2＜m＜-1-3e^-4，
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用．