Question

7．已知抛物线E：y=mx²（m＞0），圆C：x²+（y-2）²=4，点F是抛物线E的焦点，点N（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）为抛物线E上的动点，点M（2，-$\frac{1}{2}$），线段MF恰被抛物线E平分．
（1）求m的值；
（2）若y₀＞4，过点N向圆C作切线，求两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）线段MF的中点P（1，$\frac{1}{8m}$-$\frac{1}{4}$）在抛物线E上，建立方程，即可求m的值；
（2）设切线：y-y₀=k（x-x₀），切线与x轴交于点（x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，0），圆心到切线的距离d=$\frac{|-2+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，由此能求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

解答 解：（1）抛物线E的焦点F（0，$\frac{1}{4m}$），
线段MF的中点P（1，$\frac{1}{8m}$-$\frac{1}{4}$）在抛物线E上，∴$\frac{1}{8m}$-$\frac{1}{4}$=m，
∴m=$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{2}$（舍去）；
（2）设切线：y-y₀=k（x-x₀），即：kx-y+y₀-kx₀=0，
切线与x轴交于点（x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，0），
圆心到切线的距离d=$\frac{|-2+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴4+y₀²+k²x₀²-4y₀+4kx₀-2x₀y₀k=4k²+4，
化简得：（x₀²-4）k²+2x₀（2-y₀）k+y₀²-4y₀=0，
设两切线斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
S=$\frac{1}{2}$|（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}$）-（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|y₀=$\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}\frac{|{k}_{1}-{k}_{2}|}{|{k}_{1}{k}_{2}|}$=$\frac{2{y}_{0}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}}{{y}_{0}-4}$=$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{y}_{0}-4}$
=2[$\frac{16}{{y}_{0}-4}$+（y₀-4）+8]≥2（2×4+8）=32．
当且仅当$\frac{16}{{y}_{0}-4}$=y₀-4，即y₀=8时取等号．
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32．

点评 本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用，易错点是均值定理的应用．解题时要认真审题，仔细解答．